Question

函数y=f（x）（x∈R）有下列命题：
（1）在同一坐标系中，y=f（x-1）与y=f（-x+1）的图象关于直线x=-1对称；
（2）若f（2-x）=f（x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
（3）若f（x-1）=f（x+1），则函数y=f（x）是周期函数，且2是一个周期；
（4）若f（2-x）=-f（x），则函数y=f（x）的图象关于（1，0）对称．其中正确命题的序号是______．

Answer 1

解：根据题意，依次分析4个命题：
对于（1）：y=f（x）的图象与y=f（-x）的图象关于y轴对称，将y=f（x）向右平移一个单位得到f（x-1）的图象，
将y=f（-x）的图象向右平移一个单位得到y=[-（x-1）]=f（-x+1）的图象，则在同一坐标系中，y=f（x-1）与y=f（-x+1）的图象关于直线x=1对称，则（1）错误；
对于（2）：在f（2-x）=f（x）中，令t=x-1，则f（1-t）=f（1+t），分析可得函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则（2）正确；
对于（3）：在f（x-1）=f（x+1）中，令t=x-1，有f（t）=f（t+2），则函数y=f（x）是周期函数，且2是一个周期，（3）正确；
对于（4）：在f（2-x）=-f（x）中，令t=x-1，则f（1-t）=-f（1+t），则函数y=f（x）的图象关于（1，0）对称，则（4）正确；
综合可得，正确命题的序号是（2）、（3）、（4），
故答案为（2）、（3）、（4）．
分析：根据题意，依次分析4个命题：对于（1）：y=f（x）的图象与y=f（-x）的图象关于y轴对称，由图象变化的规律分析如何由将y=f（x）得到f（x-1）的图象，如何由y=f（-x）得到y=[-（x-1）]=f（-x+1）的图象，进而判断可得（1）错误；对于（2）：在f（2-x）=f（x）中，用换元法，令t=x-1，可得f（1-t）=f（1+t），分析可得（2）正确；对于（3）：在f（x-1）=f（x+1）中，令t=x-1，有f（t）=f（t+2），由周期函数的定义，分析可得（3）正确；对于（4）：在f（2-x）=-f（x）中，用换元法，令t=x-1，则f（1-t）=-f（1+t），分析可得，则（4）正确；综合可得答案．
点评：本题考查抽象函数及其应用，涉及抽象函数的对称问题，关键掌握函数关于直线、点对称的规律与判断方法．