Question

（2012•株洲模拟）已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）记g(x)=

f(x)

x

+(k+1)lnx，求函数y=g（x）的单调区间；
（3）设h（x）=x²-2bx+4，若对任意x₁∈[-2，1]，?x₂∈[1，2]使f（x₁）≥h（x₂），求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，可得b=0，利用在x=1处取得极值2，可得a=-1，c=3，从而可得y=f（x）的解析式；
（2）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（3）根据题意f（x）_min≥h（x）_min，分类讨论，确定函数的最小值，解不等式，即可求b的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴-ax³+bx²-cx=-（ax³+bx²+cx）
∴b=0
∵在x=1处取得极值2，∴

f′(1)=3a+c=0 f(1)=a+c=2

，
∴a=-1，c=3，
∴f（x）=-x³+3x；
（2）g（x）=-x²+3+（k+1）lnx，∴g′(x)=-2x+

k+1

x

=

-2x2+k+1

x

当k＜-1时，g′（x）＜0，所以在（0，+∞）递减；
当k=-1时，g′（x）≤0，所以在（0，+∞）递减；
当k＞-1时，在 (0，

k+1 2

)时，g′（x）＞0，g（x）递增；在(

k+1 2

，+∞)，g′（x）＜0，g（x）递增．
（3）根据题意f（x）_min≥h（x）_min，f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1）
所以x∈[-2，-1]递减，x∈[-1，1]递增，于是当x=1时，f（x）的最小值为-2
当b＞2时，f（x）_min=-2≥h（x）_min=8-4b，所以b≥

5

2

；
当1≤b≤2时，f(x)min=-2≥h(x)min=b2-2b2+4，所以b≥

6

或b≤-

6

（舍去）
当b＜1，f（x）_min=-2≥h（x）_min=h（1）=1-2b+4=5-2b，所以b≥

7

2

（舍去）
所以b∈[

5

2

，+∞)．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确运用导数是关键．