Question

已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为S_n，又S_k=2550．
（1）求a及k值；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

S2006

．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的中项公式列出关于a的等式，求出首项a，利用等差数列的前n项和公式列出关于k的等式，求出k的值．
（2）利用等差数列的前n项和公式求出S_n=n（n+1）得到

1

Sn

，将其裂成两项的差，利用裂项求和的方法求出和．

解答：解：（1）∵等差数列前三项为a，4，3a，
∴2×4=a+3a，
∴a=2，
公差d=4-2=2
又∵S_k=2550，
∴2k+

k(k-1)

2

×2=2550，
∴k²+k-2550=0，
∴k=50或k=-51（不合，舍去），即k=50
（2）等差数列2，4，6，…的前n项和S_n=

n(2+2n)

2

，即S_n=n（n+1）
于是

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
从而

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

S2006

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2006

-

1

2007

）=1-

1

2007

=

2006

2007

点评：求数列的前n项和，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组法．