Question

17．已知函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx
（Ⅰ）求f（x）的周期和振幅；
（Ⅱ）在给出的方格纸上用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象
（Ⅲ）写出函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用辅助角公式即可求f（x）的周期和振幅；
（Ⅱ）利用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象；
（Ⅲ）根据三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
函数f（x）的周期为T=2π，振幅为2．…（4分）
（Ⅱ）列表：

x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{3}$
x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）	0	2	0	-2	0

图象如上（作图不规范者扣1分）．       …（8分）

（Ⅲ）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得：2kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z，
所以函数的递减区间为[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{7π}{6}$]，k∈Z  …（12分）

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，以及五点作图法，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．