Question

已知椭圆C₁与椭圆

x2

5

+

y2

2

=1有相同的焦点，且过点(1，

3

2

)．
（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）若P是椭圆C₁上一点，F₁、F₂为椭圆C₁的左、右焦点，PF₁⊥PF₂，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析：（1）由于椭圆C₁与椭圆

x2

5

+

y2

2

=1有相同的焦点，于是可设方程为

x2

m+3

+

y2

m

=1(m＞0)，把点(1，

3

2

)代入即可解得m．
（2）利用勾股定理和椭圆的定义即可得出．

解答：解：（1）∵椭圆C₁与椭圆

x2

5

+

y2

2

=1有相同的焦点，
∴可设方程为

x2

m+3

+

y2

m

=1(m＞0)，
把点(1，

3

2

)代入可得

1

m+3

+

3

4m

=1，解得m=1．
∴椭圆C₁的标准方程为

x2

4

+y2=1；
（2）由椭圆C₁的标准方程为

x2

4

+y2=1可得c=

a2-b2

=

3

；
∵|PF1|2+|PF2|2=(2

3

)2=12，|PF₁|+|PF₂|=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=2，
∴S△PF1F2=

1

2

|PF1| |PF2|=

1

2

×2=1．

点评：本题考查了椭圆的定义及其性质、三角形的面积计算公式等基础知识与基本方法，属于基础题．