Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

3

，直线l：x-y+

5

=0与椭圆C₁相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直与椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）若A（x₁，2），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）是C₂上不同的点，且AB⊥BC，求实数y₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为e=

c

a

，椭圆 C₁的方程可设为

x2

3c2

+ 

y2

2c2

=1，与直线方程 x-y+

5

=0 联立，由判别式等于0解出c值，即得椭圆 C₁的方程．
（2）由题意可知，点M的轨迹C₂ 是以直线 l₁ 为准线，点F₂为焦点的抛物线，由直线l₁的方程为X=-1，点P的坐标为（1，0），可得点M的轨迹C₂ 的方程为 y²=4x．
（3）由题意可知A点坐标为（1，2），由

AB

•

BC

=0，可得（x₂-1，y₂-1）•（x₀-x₂，y₀-y₂ ）=0，方程 y₂²+（2+y₀ ）y₂+（2y₀+16）=0 有不为2的解，故 y₀²-4y₀-60≥0，且y₀≠-6，从而解得 y₀ 的取值范围．

解答：解：（1）因为e=

c

a

=

3

3

，所以，a=

3

 c，b=

2

 c，椭圆 C₁的方程可设为

x2

3c2

+ 

y2

2c2

=1，
与直线方程 x-y+

5

=0 联立，消去y，可得 5x²+6

5

x+15-6c²=0，
因为直线与椭圆相切，所以，△=(6

5

)2-4×5(15-6c2)=0，
又因为c＞0，所以 c=1，所以，椭圆 C₁的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）由题意可知，PM=MF₂，又PM为点M到直线l₁ 的距离，
所以，点M到直线l₁的距离与到点 F₂的距离相等，
即点M的轨迹C₂ 是以直线 l₁ 为准线，点F₂为焦点的抛物线，
因为直线l₁的方程为X=-1，点P的坐标为（1，0），所以，点M的轨迹C₂ 的方程为 y²=4x．
（3）由题意可知A点坐标为（1，2）． 因为AB⊥BC，所以，

AB

•

BC

=0，
即 （x₂-1，y₂-1）•（x₀-x₂，y₀-y₂ ）=0，又因为  x2=

1

4

y22，x0=

1

4

y02，
所以，

1

16

 （y₂²-4 ）（y₀²-y₂² ）+（y₂-2 ）（y₀-y₂ ）=0，
因为 y₂≠2，y₂≠y₀，所以，

1

16

(y2+2)(y0+y2)+1=0，
整理可得：y₂²+（2+y₀ ）y₂+（2y₀+16）=0，关于 y₂ 的方程有不为2的解，所以
△=（2+y₀）²-4（2y₀+16）≥0，且 y₀≠-6，
所以，y₀²-4y₀-60≥0，且y₀≠-6，解得 y₀ 的取值范围为 y₀＜-6，或 y₀≥10．

点评：本题考查求椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系的应用，式子的化简变形是解题的易错点．