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    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		2
    2
    ，直线l：y=x+2
    		2
    与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
    （Ⅰ）求椭圆C1的方程．
    （Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
    （Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
    分析：（Ⅰ）由题设条件知a2=2b2，再由直线l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切，知
    2
    		2
    2
    =b，由此可求出椭圆C1的方程．
    （Ⅱ）由MP=MF2，知动点M到定直线l1：x=-2的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，由此可求出点M的轨迹C2的方程．
    （Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，A（x1，y1），C（x2，y2），则直线AC的方程为y=k（x-2），联立
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    及y=k（x-2）得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0．然后利用根与系数的关系结合题设条件进行求解．
    解答：解：（Ⅰ）∵e=
    		2
    2
    ，∴e2=
    c2
    a2
    =
    a2-b2
    a2
    =
    1
    2
    ，∴a2=2b2
    ∵直线l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切
    ∴
    2
    		2
    2
    =b，∴b=2，b2=4，∴a2=8，
    ∴椭圆C1的方程是
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    （3分）
    （Ⅱ）∵MP=MF2，
    ∴动点M到定直线l1：x=-2的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，
    ∴动点M的轨迹C是以l1为准线，F2为焦点的抛物线
    ∴点M的轨迹C2的方程为y2=8x（6分）

    （Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，
    A（x1，y1），C（x2，y2），则直线AC的方程为y=k（x-2）
    联立
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    及y=k（x-2）得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0
    所以x1+x2=
    8k2
    1+2k2
    ，x1x2=
    8k2-8
    1+2k2

    |AC|=
    		(1+k2)(x1-x2)2
    =
    		(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
    =
    		32
    (k2+1)
    1+2k2
    ．（8分）
    由于直线BD的斜率为-
    1
    k
    ，用-
    1
    k
    代换上式中的k可得|BD|=
    		32
    (1+k2)
    k2+2

    ∵AC⊥BD，
    ∴四边形ABCD的面积为S=
    1
    2
    |AC|•|BD|=
    16(1+k2)2
    (k2+2)(1+2k2)
    ..（10分）
    由（1+2k2）（k2+2）≤[
    (1+2k2)+(k2+2)
    2
    ]2=[
    3(k2+1)
    2
    ]2
    所以S≥
    64
    9
    ，当1+2k2=k2+2时，即k=±1时取等号．（11分）
    易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=8
    综上可得，四边形ABCD面积的最小值为
    64
    9
    （12分）
    点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
    5
    3
    ．
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
    ①当直线BD过点（0，
    1
    7
    ）时，求直线AC的方程；
    ②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一条准线方程是x=
    25
    4
    ，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    的一条渐近线方程为3x-5y=0．
    （1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
    （2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连接AP交椭圆C1于点M，连接PB并延长交椭圆C1于点N，若
    AM
    =
    MP
    ．求
    MN
    •
    AB
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-
    y2
    4
    =1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2=
    0.5
    0.5
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•汕头一模）已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
    1
    2

    （1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
    （2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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