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    精英家教网已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一条准线方程是x=
    25
    4
    ，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    的一条渐近线方程为3x-5y=0．
    （1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
    （2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连接AP交椭圆C1于点M，连接PB并延长交椭圆C1于点N，若
    AM
    =
    MP
    ．求
    MN
    •
    AB
    的值．
    分析：（1）由已知
    a2
    c
    =
    25
    4
    b
    a
    =
    3
    5
    c2=a2-b2
    解得：
    a=5
    b=3
    c=4
    ，由此能够求出椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率．
    （2）由A（-5，0），B（5，0），设M(x0，y0)，则由
    AM
    =
    MP
    ，得M为AP的中点，P点坐标为（2x0+5，2y0），将M、P坐标代入C1、C2方程得
    x02
    25
    +
    y02
    9
    =1
    (2x0+5)2
    25
    -
    y02
    9
    =1
    ，解之得P（10，3
    		3
    )    ，直线PB：y=
    3
    		3
    5
    (x-5)    ，由此能够求出
    MN
    •
    AB
    =0    ．
    解答：精英家教网解：（1）由已知
    a2
    c
    =
    25
    4
    b
    a
    =
    3
    5
    c2=a2-b2
    解得：
    a=5
    b=3
    c=4

    ∴椭圆的方程为
    x2
    25
    +
    y2
    9
    =1    ，双曲线的方程
    x2
    25
    -
    y2
    9
    =1    ．
    又c′=
    		25+9
    =
    		34
    ，
    ∴双曲线的离心率e2=
    		34
    5
    （5分）
    （2）由（Ⅰ）A（-5，0），B（5，0），设M(x0，y0)，则由
    AM
    =
    MP

    得M为AP的中点，∴P点坐标为（2x0+5，2y0）
    将M、P坐标代入C1、C2方程得
    x02
    25
    +
    y02
    9
    =1
    (2x0+5)2
    25
    -
    y02
    9
    =1
    ，
    消去y0得2x02+5x0-25=0，
    解之得x0=
    5
    2
    或x0=-5(舍)    ，
    由此可得P（10，3
    		3
    )    ，直线PB：y=
    3
    		3
    10-5
    (x-5)    ，
    即y=
    3
    		3
    5
    (x-5)
    代入
    x2
    25
    +
    y2
    9
    =1得：2x2-15x+25=0    ，
    ∴x=
    5
    2
    或5(舍)    ∴xN=
    5
    2
    ，∴xN=xM，
    故MN⊥x轴，所以
    MN
    •
    AB
    =0    （12分）
    点评：本题考查椭圆方程及双曲线离心率的求法，计算
    MN
    •
    AB
    的值．解题时要熟练掌握解决直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
    5
    3
    ．
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
    ①当直线BD过点（0，
    1
    7
    ）时，求直线AC的方程；
    ②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		2
    2
    ，直线l：y=x+2
    		2
    与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
    （Ⅰ）求椭圆C1的方程．
    （Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
    （Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-
    y2
    4
    =1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2=
    0.5
    0.5
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•汕头一模）已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
    1
    2

    （1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
    （2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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