Question

已知A，B是曲线y=x³-ax上不同的两点，过点A，B两点的切线都与直线AB垂直，求证：|a|≥

3

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：由过A、B两点的切线都垂直于直线AB可知两切线平行，根据切线与AB垂直建立等量关系，验证判别式即可．

解答： 证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
∵y=x³-ax，
∴y′=3x²-a，
∵过点A，B两点的切线都与直线AB垂直，
∴3x₁²=3x₂²，
∵x₁≠x₂，
∴x₁=-x₂，
于是y₁=-y₂，k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

y1

x1

=x₁²-a，
∵过A点的切线垂直于直线AB，
∴（3x₁²-a）（x₁²-a）=-1，
∴3x₁⁴-4ax₁²+a²+1=0，
∴16a²-12（a²+1）≥0，
∴|a|≥

3

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的切线值，考查利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．