Question

设集合A={a₁，a₂，…，a_n}（a_i∈N^*，i=1，2，3，…，n，n∈N^*），若存在非空集合B，C，使得B∩C=∅，B∪C=A，且集合B的所有元素之和等于集合C的所有元素之和，则称集合A为“最强集合”．
（1）若“最强集合”A={1，2，3，4，m}，求m的所有可能值；
（2）若集合A的所有n-1元子集都是“最强集合”，求n的最小值．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用,元素与集合关系的判断

专题：新定义,集合

分析：（1）根据题意求出m的可能值，并说明原因；
（2）说明最强集合A中的每个元素可以都是偶数，也可以都是奇数；
验证命题成立时满足条件的n的最小值即可．

解答： 解：（1）根据题意得，m的可能值为6，8，10；
原因如下：
若1+3+4=2+m，则m=6；
若2+3+4=1+m，则m=8；
若1+2+3+4=m，则m=10；
（2）设S_n=a₁+a₂+…+a_n，n∈N^*，根据题目条件不难判定：
对任意的i=1，2，…，n，S_n-a_i是偶数；
①如果S_n是偶数，则A中的每个元素也都是偶数，
即存在b_i∈N^*，使得a_i=2b_i，
而集合B={b₁，b₂，…，b_n}的每一个n-1元子集也是“最强集合”；
对集合B可以重复上面的讨论，总可以得到一个所有元素之和都是奇数且每一个n-1元子集都是“最强集合”的集合．
②不妨设S_n是奇数，则对任意的i=1，2，…，n，a_i也都是奇数，
又因为S_n=a₁+a₂+…+a_n，故n也是奇数；
假设奇数n≤5，对于n=1，3的情形，显然找不出满足条件的集合A，
设n=5，且不妨设a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
若集合{a₂，a₃，a₄，a₅}是“最强集合”，则a₂+a₅=a₃+a₄或a₂+a₃+a₄=a₅；
若集合{a₁，a₃，a₄，a₅}是“最强集合”，则a₁+a₅=a₃+a₄或a₁+a₃+a₄=a₅；
考虑其他可能的组合：
如果

a2+a5=a3+a4 a1+a5=a3+a4

，那么a₁=a₂，与集合元素的互异性矛盾；
如果

a2+a5=a3+a4 a1+a3+a4=a5

，那么a₁+a₂=0，与a_i∈N^*矛盾；
如果

a2+a3+a4=a5 a1+a5=a3+a4

，那么a₁+a₂=0，与a_i∈N^*矛盾；
如果

a2+a3+a4=a5 a1+a3+a4=a5

，那么a₁=a₂，与元素的互异性矛盾；
因此奇数n＞5，而当n=7时，容易验证集合A={1，3，5，7，9，11，13}的每一个6元子集均为“最强集合”；
综上所述，n的最小值为7．

点评：本题考查了新定义的有关元素与集合的概念和运算问题，解题时应理解题意，并根据所掌握的知识解答问题，是较难的题目．