Question

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1.

   （I）求证：A₁C//平面AB₁D；

   （II）求二面角B—AB₁—D的大小；

   （III）求点c到平面AB₁D的距离.

Answer 1

解法一（I）证明：

连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁ = AB，

∴四边形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A₁C.

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D.

   （II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG.

∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A₁ABB₁，

∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，  ∵FG⊥AB₁， ∴DG⊥AB₁

∴∠FGD是二面角B—AB₁—D的平面角

设A₁A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B—AB₁—D的大小为

   （III）解：∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B₁BCC₁，又AD平面AB₁D，∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D.

在平面B₁BCC₁内作CH⊥B₁D交B₁D的延长线于点H，

则CH的长度就是点C到平面AB₁D的距离.

由△CDH∽△B₁DB，得

即点C到平面AB₁D的距离是

解法二：

建立空间直角坐标系D—xyz，如图，

   （I）证明：

连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

设A₁A = AB = 1，

则

 

，

 

   （II）解：， ，

设是平面AB₁D的法向量，则，

故；

同理，可求得平面AB₁B的法向量是

设二面角B—AB₁—D的大小为θ，，

∴二面角B—AB₁—D的大小为

   （III）解由（II）得平面AB₁D的法向量为，

取其单位法向量

∴点C到平面AB₁D的距离