Question

已知函数f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-2．
（i）求f（x）的解析式；
（ii）求证：当．

Answer 1

解：由题意可得，f（x）定义域为（0，+∞）
（I）对函数求导可得，
①a≥0时，ax+1＞0，x＞0
由f′（x）＞0可得，，由f′（x）＜0可得
∴f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减
②a＜0时，令f′（x）=0可得x₁=或
（i）当-2＜a＜0时
由f′（x）＜0可得，由f′（x）＞0可得
故f（x）在单调递减，在（0，），单调递增
（ii）当a＜-2时，同理可得f（x）在（-）单调递减，在（0，-），单调递增
（iii）当a=-2时，
∴f（x）在（0，+∞）增…..（6分）
（II）（i）解：由（I）知）知f′（x）=-（a+1）=-2
∴a=1
∴f（x）=lnx-x²-x…．（8分）
（ii）证明：
=
令
故当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）单调递增，
∴g（x）＜g（1）=0，又
∴
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，g（x）＞g（1）=0
又，
∴
综上所述，x＞0且x≠0时，…（14分）
分析：由题意可得，f（x）定义域为（0，+∞）
（I）对函数求导可得，，要讨论函数的单调性，只要讨论a的范围判断f′（x）的符号
（II）（i）由（I）知f′（x）=-（a+1）=-2可求a，从而可求f（x）
（ii）由于=，令对函数g（x）求导可得g（x）在（0，1）单调递增，，g（x）在（1，+∞）单调递增，g（x）＞g（1）=0，可证
点评：本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性，导数的几何意义在切线的求解中的应用，及利用导数证明不等式中的应用，属于中档试题