Question

求a的取值范围，使得关于x的方程x²+2（a-1）x+2a+6=0．
（1）有两个都大于1的实数根；
（2）至少有一个正实数根．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=x²+2（a-1）x+2a+6，根据原方程的两根都大于1，利用二次函数的性质求出a的范围．
（2）分①若方程有一正一负根、②若方程有两正根、③若方程有一正根和一个0根三种情况，分别利用二次函数的性质求得a的范围，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）设f（x）=x²+2（a-1）x+2a+6，若原方程的两根都大于1，
则有

f(1)＞0 4(a-1)2-4(2a+6)≥0 1-a＞1

⇒

1+2(a-1)+2a+6＞0 a2-4a-5≥0 a＜0

，化简得 

a＞- 5 4 a≤-1或a≥5 a＜1

，∴-

5

4

＜a≤-1．
（2）分三种情况：①若方程有一正一负根，需2a+6＜0，求得a＜-3．
②若方程有两正根，需

f(0)＞0 4(a-1)2-4(2a+6)≥0 1-a＞0

⇒

2a+6＞0 a2-4a-5≥0 a＜1

，∴-3＜a≤-1．
③若方程有一正根和一个0根，需2a+6=0，a=-3，此时有正根x=8．
综上所述，a的范围是{a|a＜-3，或-3＜a≤-1，或a=-3}，
即{a|a≤-1}

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．