Question

14．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=DD₁=1，DC=2，E为AB上一点．
（Ⅰ）求证：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）若E为AB中点时，求AD与平面D₁EC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AD₁交A₁D于点O，由ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体得A₁D⊥AD₁，且AB⊥A₁D，然后利用线面垂直的判定得A₁D⊥面AD₁E，从而得到D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得到D，D₁，E，A，C的坐标，求得$\overrightarrow{{D}_{1}E}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{{D}_{1}C}=（0，2，-1）$，设面D₁EC的法向量为$\overrightarrow v=（{x，y，z}）$，由向量数量积为0列式求得$\overrightarrow{v}$，又$\overrightarrow{DA}=（{1，0，0}）$，可得AD与平面D₁EC所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：连接AD₁交A₁D于点O，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，∴A₁D⊥AD₁，
∴AB⊥面ADD₁A₁，而A₁D?面ADD₁A₁，
∴AB⊥A₁D，又AB∩AD₁=A，
∴A₁D⊥面AD₁E，
∵D₁E?面AD₁E，∴D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AD=DD₁=1，DC=2，
∴D（0，0，0），D₁（0，0，1），E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．
$\overrightarrow{{D}_{1}E}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{{D}_{1}C}=（0，2，-1）$，
设面D₁EC的法向量为$\overrightarrow v=（{x，y，z}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow v•\overrightarrow{{D_1}E}=0\\ \overrightarrow v•\overrightarrow{{D_1}C}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow v=（{1，1，2}）$．
又∵$\overrightarrow{DA}=（{1，0，0}）$，
∴$sinθ=|{\frac{{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow v}}{{|{\overrightarrow{DA}}|•|{\overrightarrow v}|}}}|=\frac{1}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
∴AD与平面D₁EC所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查直线与直线的位置关系，考查了线面垂直的判定和性质，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．