Question

已知椭圆┍的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），点P的坐标为（-a，b）．
（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，-b），B（a，0）满足

PM

=

1

2

（

PA

+

PB

），求点M的坐标；
（2）设直线l₁：y=k₁x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于点E．若k₁•k₂=-

b2

a2

，证明：E为CD的中点；
（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P₁、P₂满足

PP1

+

PP2

=

PQ

，写出求作点P₁、P₂的步骤，并求出使P₁、P₂存在的θ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y） 根据

PM

=

1

2

（

PA

+

PB

）分别用三点的坐标表示出三个向量，进而解得x和y，则M点坐标可得．
（2）直线l₁与椭圆方程联立消去y，根据判别式求得，a²k₁²+b²-p²＞0，设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中点坐标为（x₀，y₀），利用韦达定理可求得x₁+x₂的表达式，进而求得x₀，代入直线方程求得y₀，两直线方程联立根据直线l₂的斜率求得x=x₀，y=y₀
进而判断出E为CD的中点；
（3）先求出PQ的中点的坐标，进而求出直线OE的斜率，再由

PP1

+

PP2

=

PQ

，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率，直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，进而求得q的取值范围．

解答：解：（1）设M（x，y）
∵

PM

=

1

2

（

PA

+

PB

），
∴2（x+a，y-b）=（a，-2b）+（2a，-b）
∴

2(x+a)=3a 2(y-b)=-3b

，
解得x=

a

2

y=-

b

2

M点坐标为（

a

2

，-

b

2

）
（2）由方程组

y=k1x+p x2 a2 +  y2 b2 =1

，消y得方程（a²k_′1+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，
因为直线l₁：y=k₁x+p交椭圆于C、D两点，所以△＞0，即a²k₁²+b²-p²＞0，
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中点坐标为（x₀，y₀），
则x₀=

x1+x2

2

=-

a2k1p

a2 k 2 1 +b2

，y₀=k₁x₀+p=

b2p

a2 k 2 1 +b2

，由方程组

y=k1x+p y=k2x

，消y得方程（k₂-k₁）x=p，
又因为k₂=-

b2

a2k1

，所以x=

p

k2-k1

=x₀，y=k₂x=y₀
故E为CD的中点；
（3）求作点P₁、P₂的步骤：
1°求出PQ的中点E（-

a(1-cosθ)

2

，

b(1+sinθ)

2

），
2°求出直线OE的斜率k₂=

b(1+sinθ) 2

a(1-cosθ) 2

=

b(1+sinθ)

a(1-cosθ)

，
3°由

PP1

+

PP2

=

PQ

，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率k₁=

b(1-cosθ)

a(1+sinθ)

，
4°从而得直线P₁P₂的方程：y-

b(1+sinθ)

2

=

b(1-cosθ)

a(1+sinθ)

（x+

a(1-cosθ)

2

），
5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P₁、P₂的坐标．
欲使P₁、P₂存在，必须点E在椭圆内，
所以

(1-cosθ)2

4

+

(1+sinθ)2

4

＜1，化简得sinθ-cosθ＜

1

2

，∴sin（θ-

π

4

）＜

2

4

，
又0＜q＜p，所以-

π

4

＜θ-

π

4

＜arcsin

2

4

，
故q的取值范围是（0，

π

4

+arcsin

2

4

）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的前提是要求学生对基础知识有相当熟练的把握．