Question

设椭圆=1的焦点为F₁、F₂,P是椭圆上任意一点,一条斜率为的直线交椭圆于A、B两点,如果当a变化时,总可同时满足:
①∠F₁PF₂的最大值为;
②直线l:ax+y+1=0平分线段AB.
求a的取值范围.

Answer 1

a>.

由椭圆的定义及余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=(|PF₁|+|PF₂|)²-
2|PF₁|·|PF₂|(1+cos∠F₁PF₂).
∴2|PF₁||PF₂|(1+cos∠F₁PF₂)=4a²-4c²=4b².
∵|PF₁||PF₂|≤()²,
∴2()²(1+cos∠F₁PF₂)≥4b².
∴cos∠F₁PF₂≥,当且仅当|PF₁|=|PF₂|时取等号.由于∠F₁PF₂的最大值为,
∴=.
∴3a²=4b²,从而椭圆方程为3x²+4y²=3a².
设AB的方程为y=x+m,代入椭圆方程得4x²+4mx+4m²-3a²=0.
由Δ=16m²-4×4(4m²-3a²)>0a²>m².而AB的中点M(-,)在l上,
∴-+1=0,解得m=.
代入a²>m²,解得a>.