Question

三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x-3y+1=0，x+y=0，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，直线AB是经过A（1，2）且与直线x+y=0垂直的直线，算出AB方程为y=x+1，从而得到B的坐标（-2，-1）．算出两条高的交点H（-，）即为三角形的垂心，从而由直线AH的斜率得到BC的斜率，最后利用直线方程的点斜式列式，即可得到BC边所在的直线方程．
解答：解：∵顶点A（1，2），AB的高所在直线方程x+y=0，
∴直线AB的斜率为1，得直线方程为y-2=（x-1），即y=x+1
因此，求得边AC的高所在直线与AB的交点得B（-2，-1）
∵直线2x-3y+1=0，x+y=0交于点（-，）
∴边AC，AB的高交于点H（-，），可得H为三角形ABC的垂心
∵BC是经过B点且与AH垂直的直线，k_AH==，
∴直线BC的斜率k==-
可得BC方程为y+2=-（x+1），化简得2x+3y+7=0．
点评：本题给出三角形的两条高所在直线，在已知第三个顶点的情况下BC边所在直线方程，着重考查了直线的方程和直线的位置关系等知识，属于中档题．