Question

f(x)=

1

2

sin(ωx+

π

6

)(ω＞0)的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为π．若点A（x₀，y₀）是y=f（x）图象的一个对称中心，且x0∈[0，

π

2

]，则x₀=

5π

12

．

Answer 1

分析：根据f（x）的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为π，得到f（x）周期为π，利用周期公式求出ω的值，确定出f（x）解析式，再根据点A（x₀，y₀）是y=f（x）图象的一个对称中心，且x₀∈[0，

π

2

]，得到2x₀+

π

6

=kπ，y₀=0，即可求出x₀的值．

解答：解：∵f（x）的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为π，
∴f（x）的周期为π，即

2π

|ω|

=π，
∵ω＞0，∴ω=2，
∴f（x）=

1

2

sin（2x+

π

6

），
∵点A（x₀，y₀）是y=f（x）图象的一个对称中心，且x₀∈[0，

π

2

]，
∴2x₀+

π

6

=π，y₀=0，
则x₀=

5π

12

．
故答案为：

5π

12

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的对称性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．