Question

【题目】设命题p：x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0，x∈R），命题q：﹣x2+5x﹣6≥0，x∈R．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，由x2﹣4x+3＜0，得1＜x＜3，

即命题p为真时有1＜x＜3．

命题q为真时，2≤x≤3

由p∧q为真命题知，p与q同时为真命题，则有2＜x＜3．

即实数x的取值范围是（2，3）

（2）解：由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．

又a＞0，所以a＜x＜3a，

由￢p是￢q的充分不必要条件知，q是p的充分不必要条件．

则有{2≤x≤3}{x|a＜x＜3a}

所以 解得1＜a＜2．

即实数a的取值范围是（1，2）

【解析】（1）将a=1代入，分别求出p，q为真时的x的范围，取交集即可；（2）解出关于p的不等式，￢p是￢q的充分不必要条件结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．
【考点精析】掌握复合命题的真假是解答本题的根本，需要知道“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．