Question

6．已知各项为正的等比数列{a_n}中，a₃与a₂₀₁₅的等比中项为2$\sqrt{2}$，则2a₄+a₂₀₁₄的最小值为8．

Answer 1

分析 由已知求出a₁₀₀₉=2$\sqrt{2}$，利用等比数列通项公式得2a₄+a₂₀₁₄=$\frac{2{a}_{1009}}{{q}^{1005}}$+${a}_{1009}•{q}^{1005}$，由此能求出2a₄+a₂₀₁₄的最小值．

解答 解：∵各项为正的等比数列{a_n}中，a₃与a₂₀₁₅的等比中项为2$\sqrt{2}$，
∴a₃•a₂₀₁₅=${{a}_{1009}}^{2}$=（2$\sqrt{2}$）²=8，∴a₁₀₀₉=2$\sqrt{2}$，
2a₄+a₂₀₁₄=$\frac{2{a}_{1009}}{{q}^{1005}}$+${a}_{1009}•{q}^{1005}$≥2$\sqrt{\frac{2{a}_{1009}}{{q}^{1005}}×{a}_{1009}•{q}^{1005}}$=2$\sqrt{2}$a₁₀₀₉=2$\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=8．
当且仅当$\frac{2{a}_{1009}}{{q}^{1005}}={a}_{1009}•{q}^{1005}$时，取等号，
∴2a₄+a₂₀₁₄的最小值为8．
故答案为：8．

点评 本题考查等比数列的两项和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．