Question

1．已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 据三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，SH⊥平面ABC，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OH为O与平面ABC的距离，由此可得结论．

解答 解：∵三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，
∴S在面ABC上的射影为AB中点H，∴SH⊥平面ABC．
∴SH上任意一点到A、B、C的距离相等．
∵SH=$\sqrt{3}$，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，
则O为SABC的外接球球心．
∵SC=2，
∴SM=1，∠OSM=30°，
∴SO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即为O与平面ABC的距离．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定OH是O与平面ABC的距离是关键．