Question

（2012•唐山二模）已知f(x)=

1

2

x

2

-

a

2

lnx，a＞0．
（I）求函数f（x）的最小值；
（ II）当x＞2a，证明：

f(x)-f(2a)

x-2a

＞

3

2

a．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′（x）=x-

a2

x

=

(x+a)(x-a)

x

，知当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．由此能求出函数f（x）的最小值．
（Ⅱ）由（Ⅰ），知f（x）在（2a，+∞）单调递增，则所证不等式等价于f（x）-f（2a）-

3

2

a（x-2a）＞0，由此能够证明

f(x)-f(2a)

x-2a

＞

3

2

a．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x-

a2

x

=

(x+a)(x-a)

x

．…（1分）
当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
当x=a时，f（x）取得极小值也是最小值f（a）=

1

2

a²-a²lna．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（2a，+∞）单调递增，
则所证不等式等价于f（x）-f（2a）-

3

2

a（x-2a）＞0．…（7分）
设g（x）=f（x）-f（2a）-

3

2

a（x-2a），
则当x＞2a时，
g′（x）=f′（x）-

3

2

a=x-

a2

x

-

3

2

a=

(2x+a)(x-2a)

2x

＞0，…（9分）
所以g（x）在[2a，+∞）上单调递增，
当x＞2a时，g（x）＞g（2a）=0，即f（x）-f（2a）-

3

2

a（x-2a）＞0，
故

f(x)-f(2a)

x-2a

＞

3

2

a．…（12分）

点评：本题考查函数的最小值的求法和不等式的证明，易错点是

f(x)-f(2a)

x-2a

＞

3

2

a等价于f（x）-f（2a）-

3

2

a（x-2a）＞0的相互转化．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．