Question

18．已知1＜a＜2，f（x）=$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$（x＞0），能否确定f（x）与g（x）的大小关系．

Answer 1

分析 利用作差法求f（x）-g（x），结合指数函数的性质进行判断即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$，
∴f（x）-g（x）=$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{2}$-$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$=$\frac{1}{2}$（a^x-2^x+a^-x-2^-x）=$\frac{1}{2}$（a^x-2^x+$\frac{{2}^{x}-{a}^{x}}{{a}^{x}•{2}^{x}}$）=$\frac{1}{2}$（a^x-2^x）（1-$\frac{1}{{a}^{x}•{2}^{x}}$）=$\frac{1}{2}$（a^x-2^x）•$\frac{{a}^{x}•{2}^{x}-1}{{a}^{x}•{2}^{x}}$=$\frac{1}{2}$（a^x-2^x）•$\frac{（2a）^{x}-1}{（2a）^{x}}$，
∵1＜a＜2，x＞0，
∴（2a）^x＞1，则（2a）^x-1＞0，（2a）^x＞0，
∴a^x-2^x＜0，
∴f（x）-g（x）＜0
即f（x）＜g（x）．

点评 本题主要考查两个函数式子的大小比较，利用作差法，结合指数函数的单调性是解决本题的关键．