Question

已知关于x的函数f（x）=ax²-4bx+1．
（1）若a=0，b∈（-1，2）求函数y=f（x）是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析：（1）根据a=0，f（x）=-4bx+1，是增函数，则-1＜b＜0，而试验发生所包含的区间为b∈（-1，2），利用几何概率的计算公式可求
（2）根据函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，利用几何概型计算公式得到结果．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）当a=0，f（x）=-4bx+1，若y=f（x）是增函数，则b＜0．…（2分）
∵b∈（-1，2），∴所求事件的概率为

1

3

．…（4分）
（2）∵函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=

2b

a

，要使函数f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且

2b

a

≤1，即2b≤a．，…（6分）
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

构成所求事件的区域为如图阴影部分．…（8分）

由

a+b-8=0 b= 1 2 a

得交点坐标为（

16

3

，

8

3

）．．…（10分）
∴所求事件的概率为P=

1 2 ×8× 8 3

1 2 ×8×8

=

1

3

..…（12分）

点评：本题主要考查了由长度、面积度量的几何概率的求解，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．