Question

设函数f（x）=xe^x-x（

a

2

x+1）+2．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时，f（x）≥x²-x+2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=1代入，求出函数的导函数的解析式，分析区间（-∞，-1），（0，+∞），（-1，0）上导函数的符号，进而可得f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时，f（x）≥x²-x+2，即即e^x≥

a+2

2

x，分当x=0时和当x＞0时，分别讨论a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=xe^x-x（

1

2

x+1）+2．
∴f′（x）=（e^x-1）（x+1）
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞0；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0；
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（0，+∞）
函数f（x）的单调递减区间为（-1，0）
（2）由f（x）≥x²-x+2，得xe^x-x（

a

2

x+1）+2≥x²-x+2，即x（e^x-

a+2

2

x）≥0
又由x≥0，故e^x-

a+2

2

x≥0，即e^x≥

a+2

2

x
当x=0时，显然成立；
当x＞0时，e^x≥

a+2

2

x，可化为

ex

x

≥

a+2

2

，令g（x）=

ex

x

，则g′（x）=

ex(x-1)

x2

由x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
可得当x=1时，g（x）取最小值e，
故e≥

a+2

2

，
解得a≤2（e-1）

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．