Question

（本小题满分12分）

　　　如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点。

　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，值有，求a的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）（，+）

【解析】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.

    解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，

                所以,

                即1＝

                因此，椭圆方程为

            (Ⅱ)设

             (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

               (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

                    设直线AB的方程为：

                    整理得

                    所以

                    因为恒有，所以AOB恒为钝角.

                    即恒成立.

                   

                             

 

又a²+b²m²>0,所以-m²a²b²+b²-a²b²+a²<0对mR恒成立，

即a²b²m²> a² -a²b²+b²对mR恒成立.

当mR时，a²b²m²最小值为0，所以a²- a²b²+b²<0.

a²<a²b²- b^2, a²<( a²-1)b²= b⁴,

因为a>0,b>0,所以a<b²,即a²-a-1>0,

解得a>或a<(舍去)，即a>,

综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，

x=1代入=1.

因为恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,2(1+y_A²)<4 y_A^2, y_A²>1，即>1,

解得a>或a<(舍去)，即a>.

（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x_1,y₁）, B（x_2,y2）.

设直线AB的方程为y=k(x-1)代入

得(b²+a²k²)x²-2a²k²x+ a² k^2- a² b²=0,

故x₁+x₂₌

因为恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,

所以x²₁+y²₁+ x²₂+ y²₂<( x₂-x₁)²₊(y₂-y₁)²_,

得x₁x₂+ y₁y₂<0恒成立.

x₁x₂+ y₁y₂= x₁x₂+k²(x₁-1) (x₂-1)=(1+k²) x₁x₂-k²(x₁₊x₂)+ k²

=(1+k²).

由题意得（a²- a² b²+b²）k²- a² b²<0对kR恒成立.

①当a²- a² b²+b²>0时，不合题意；

②当a²- a² b²+b²=0时，a=;

③当a²- a² b²+b²<0时，a²- a²(a²-1)+ (a²-1)<0，a⁴- 3a² +1>0,

解得a²>或a²>（舍去），a>，因此a.

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.