Question

【题目】设函数，，其中，是自然对数的底数．

（1）若在上存在两个极值点，求的取值范围；

（2）若，，函数与函数的图象交于，，，，且线段的中点为，证明：．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）见解析.

【解析】

（1）求导，依题意，导函数满足在上有两个不等实根，转化可得，构造函数，利用导数可知，且由的趋近性可求得实数的取值范围；

（2）问题转化为证明，通过换元令，即证，再分别证明即可．

（1）由题意可知，，令，

则在上存在两个极值点等价于在上有两个不等实根，

由可得，

令，则，

令，则，

当时，，故函数在上单调递减，且，

当时，，，单调递增，

当时，，，单调递减，

是的极大值也是最大值，

，

，

又当时，，当时，大于0且趋向于0，

要使在有两个根，则；

（2）由题意可得，，

要证（1）成立，

只需证，即，

设，即证，

要证，只需证，

令，则，

在上为增函数，

，即成立；

要证，只需证，

令，则，

在上为减函数，

，即成立；

成立，

即成立．