Question

【题目】设函数，，其中，是自然对数的底数．

（1）若在上存在两个极值点，求的取值范围；

（2）若，，函数与函数的图象交于，，且线段的中点为，证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）求导，令，得出，构造函数，利用导数求出的取值范围，从而得解；

（2）根据题意，求出，然后利用分析法进行证明即可.

（1）的定义域为，，

则在上存在两个极值点等价于在上有两个不等实根，

由，解得，

令，则，

令，则，

当时，，故函数在上单调递减，且，

所以，当时，，，单调递增，

当时，，，单调递减，

所以，是的极大值也是最大值，

所以，所以，

又当时，，当时，大于0且趋向于0，

要使在有两个根，则；

（2）证明：，

由，得，则，

要证成立，

只需证，即，

即，

设，即证，

要证，只需证，

令，则，

所以在上为增函数，所以，即成立；

要证，只需证，

令，则，

所以在上为减函数，

所以，即成立；

所以成立，即成立.