Question

【题目】已知双曲线的左右焦点分别为，的周长为12．

（1）求点的轨迹的方程．

（2）已知点，是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，答案见解析.

【解析】

（1）依题意根据椭圆的定义可知点的轨迹为椭圆，（除去与x轴的交点），

设方程为，由，，求出即可得到椭圆方程；

（2显然直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点；当直线的斜率存在时，设方程为，联立直线与椭圆方程，消元，由求出的取值范围，设点，的中点，列出韦达定理，表示出，由又，得到，得到方程判断方程的解即可；

解：（1）由题意可得，，

∴，

又∵的周长为12，

∴，

∴点P的轨迹是椭圆（除去与x轴的交点），

设方程为，

∴，∴，

∴，

∴点的轨迹C的方程为．

（2）①当直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点；

②当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，

则，

联立，

得，

由，

解得，且．

设点，的中点

∵，∴

又∵，∴，

∵

∴，此方程无解．

综上所述，不存在直线使得．