【题目】已知F1,F2为椭圆C:的左、右焦点,椭圆C过点M,且MF2⊥F1F2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)经过点P(2,0)的直线交椭圆C于A,B两点,若存在点Q(m,0),使得|QA|=|QB|.
①求实数m的取值范围:
②若线段F1A的垂直平分线过点Q,求实数m的值.
【答案】(1)y2=1(2)①m∈[0,)②
【解析】
(1)由椭圆过M点,及且MF2⊥F1F2,可得c=1,求得a,b的值,求出椭圆的方程;
(2)①设直线AB的方程与椭圆联立,求出两根之和,可得AB的中点N的坐标,由|QA|=|QB|.可得直线AB⊥QN,可得斜率之积为﹣1,可得m的表达式m,进而可得m的范围;
②由题意|QF1|=|QA|=QB|,在以为原心,为半径的圆上,再与椭圆方程联立,由根与系数的关系列式化简,求出m的值.
解:(1)因为椭圆过M(1,),MF2⊥F1F2,
所以解得:a2=2,b2=1,所以椭圆的方程为:y2=1;
(2)设直线的方程为:y=k(x﹣2),
代入椭圆的方程,整理可得:(1+2k2)x2﹣8k2x+8k2﹣2=0,
因为直线l与椭圆C由两个交点,所以=64k4﹣4(1+2k2)(8k2﹣2)>0,
解得2k2<1;
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2,x1x2,
①设AB中点为M(x0,y0),
则有x0,y0=k(x0﹣2),
当k≠0时,因为|QA|=|QB|,∴QM⊥l,
∴kQMkk=﹣1,解得m,
∴m1∈(0,),
当k=0,可得m=0,
综上所述:m∈[0,).
②由题意|QF1|=|QA|=QB|,且F1(﹣1,0),
由,整理可得:x2﹣4mx﹣4m=0,
所以x1,x2也是此方程的两个根,所以x1+x2=4m,x1x2=﹣4m,
所以,解得k2,所以m.
所以m的值为.
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【题目】如图,海岸公路MN的北方有一个小岛A(大小忽略不计)盛产海产品,在公路MN的B处有一个海产品集散中心,点C在B的正西方向10处,,,计划开辟一条运输线将小岛的海产品运送到集散中心.现有两种方案:①沿线段AB开辟海上航线:②在海岸公路MN上选一点P建一个码头,先从海上运到码头,再公路MN运送到集散中心.已知海上运输、岸上运输费用分别为400元/、200元/.
(1)求方案①的运输费用;
(2)请确定P点的位置,使得按方案②运送时运输费用最低?
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【题目】已知定义在R上的偶函数f(x)在(﹣∞,0]上单调递增,且f(﹣1)=﹣1.若f(x﹣1)+1≥0,则x的取值范围是_____;设函数若方程f(g(x))+1=0有且只有两个不同的实数解,则实数a的取值范围为_____.
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【题目】已知双曲线的左右焦点分别为,的周长为12.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点,是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点,使得,若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)曲线C2上两点与点B(ρ2,α),求△OAB面积的最大值.
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【题目】
在四棱锥中,侧面底面,,为中点,底面是直角梯形,,=90°,,.
(I)求证:平面;
(II)求证:平面;
(III)设为侧棱上一点,,试确定的值,使得二面角为45°.
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