Question

【题目】

在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，=90°,，．

（I）求证：平面；

（II）求证：平面；

（III）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°．

Answer 1

【答案】（I）证明见解析．

（II）证明见解析．

（III）

【解析】

（I）取PD的中点F，连结EF，AF，

因为E为PC中点，所以EF//CD，且

在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，

所以EF//AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，

所以BE//AF，

BE平面PAD，AF平面PAD，

所以BE//平面PAD．

（II）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，

所以PD⊥AD．

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz．

则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）.

所以

又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，

所以BC⊥平面PBD．

（III）平面PBD的法向量为

所以，

设平面QBD的法向量为=（a，b，c），

，

由，，得

所以=

所以

注意到，得．