Question

【题目】已知函数

（I）若，求函数的极值和单调区间；

（II）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）时，的极小值为1；单调递增区间为，单调递减区间为；（II）．

【解析】

试题（I）首先求出导函数，然后令导数等于零，解方程，从而根据定义域列表讨论，求得函数的单调区间和极值；（II）首先根据题意将问题转化为在区间上的最小值小于0即可，从而首先求出导函数，然后分、研究函数在上的单调性，将的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值，进而求得的取值范围．

试题解析：（I）因为，

当，．

令，得．

又的定义域为，随的变化情况如下表：

所以时，的极小值为1．

的单调递增区间为，单调递减区间为．

（II）因为，且，

令，得到．

若在区间上存在一点，使得成立，

其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．

（1）当时，对成立，

所以，在区间上单调递减，

故在区间上的最小值为，

由，得，即

（2）当时，

①若，则对成立，

所以在区间上单调递减，

所以，在区间上的最小值为，

显然，在区间上的最小值小于0不成立

②若，即时，则有

所以在区间上的最小值为，

由，

得，解得，即舍去；

当，即，即有在递增，

可得取得最小值，且为1，，不成立．

综上，由（1）（2）可知符合题意．