Question

【题目】已知椭圆的焦点为和，过的直线交于，两点，过作与轴垂直的直线交直线于点．设，已知当时，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：无论如何变化，直线过定点．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．

【解析】

（Ⅰ）根据椭圆定义和线段长度关系可知在轴上，由此求得，代入椭圆方程即可求得，进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）将直线：代入椭圆方程可得韦达定理的形式，从而得到，从而化简得到直线的斜率，得到方程为，从而得到定点.

（Ⅰ）设椭圆方程为，其中，

时，不妨设，则，

，，由椭圆定义得：，，

故此时点在轴上，不妨设，则，

代入椭圆方程，解得：，，

故所求椭圆方程为．

（Ⅱ）直线过定点，证明如下：

设直线方程为：，

代入椭圆中得：，即，

设，，

则，，，

由题设知：，直线斜率：，

直线方程为，化简得：，故直线恒过．