Question

【题目】在平面直角坐标系中，，是轴上关于原点对称的两定点，点满足，点的轨迹为曲线．

（1）求的方程；

（2）过的直线与交于点，线段的中点为，的中垂线分别与轴、轴交于点，问是否成立？若成立，求出直线的方程；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不成立，理由详见解析.

【解析】

（1）根据椭圆的定义，可以判断出点的轨迹是焦点为、，长轴长为4的椭圆，确定出，进而求得，得到椭圆的方程；

（2）该题可以从三个角度去分析，一是设直线方程为，根据题意列出等式，无解，从而确定不成立；二是设直线方程为，根据三角形全等去分析，推出矛盾，不成立，三是利用点差法确定出直线的斜率，写出点斜式方程，列式，推出矛盾，从而不成立，得到结果.

（1）因为，

所以点的轨迹是焦点为、，长轴长为4的椭圆，

设椭圆方程为，

所以，所以，

所以的方程为．

（2）解法一：

直线的斜率必存在且不为0，设方程为，

由消去整理得

，

，

设，则，

故点的横坐标为，所以，

设，因为，所以，

解得，所以，

要使，只需，

即，

整理得，因为，所以此方程无实根，

所以不成立．

解法二：

直线的斜率必存在且不为0，设方程为，

由消去整理得，

，

设，则，

故点的纵坐标为，

所以，

因为直线的斜率为，

所以直线的方程为，

即．

令，则，

所以点的纵坐标为，即，

所以，

因为，所以，

要使得，则必须，

因为上式不成立，所以不成立．

解法三：

设，因为在曲线上，且

所以两式相减并整理得，

所以直线的斜率为，

所以的方程为，

令，得，所以点的纵坐标，

所以，

又因为，所以，

要使得，则必须，

因为上式不成立，所以不成立．