Question

【题目】已知，数列中的每一项均在集合中，且任意两项不相等，又对于任意的整数，均有．例如时，数列为或．

（1）当时，试求满足条件的数列的个数；

（2）当，求所有满足条件的数列的个数．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）．

【解析】

（1）分别假设，和，根据已知关系式可求得，从而得到结果；

（2）①当时，可确定满足条件的数列只有个；②当时，可知以后的各项是唯一确定的，根据之前的满足条件的数列的个数为可整理得到，由等比数列通项公式可求得，由此可确定结果.

（1）若，则，故，则；

若，则，，故，则；

若，则，或，；

当时，满足条件的数列为；；；；

故满足条件的的个数为；

（2）设满足条件的数列的个数为，显然，，，

不等式中取，则有，即，

①当时，则，同理，．．．，，满足条件的数列只有个；

②当，则，同理，．．．，，即以后的各项是唯一确定的，又之前的满足条件的数列的个数为，

当时，（*），

当时，，代入（*）式得到，且满足，

对任意，都有成立，又，；

综上，满足条件的数列的个数为．