[题目]设抛物线的焦点为.准线为.为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦.已知以为直径的圆经过点.(1)求的值及该圆的方程,(2)设为上任意一点.过点作的切线.切点为.证明:. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.

（1）求的值及该圆的方程；

（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.

【答案】（1），圆的方程为：.（2）答案见解析

【解析】

（1）根据题意，可知点的坐标为，即可求出的值，即可求出该圆的方程；

（2）由题易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，与抛物线联立方程组，根据，求得，化简解得，进而求得点的坐标为，分别求出，，利用向量的数量积为0，即可证出.

解：（1）易知点的坐标为，

所以，解得.

又圆的圆心为，

所以圆的方程为.

（2）证明易知，直线的斜率存在且不为0，

设的方程为，

代入的方程，得.

令，得，

所以，解得.

将代入的方程，得，即点的坐标为.

所以，，

故.

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