Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，且关于的方程恰有三个实数根，，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求导后按照、、分类讨论，求出、的解集即可得解；

（2）构造新函数，求导后可得即可得；同理可得，即可得证.

（1）由题意得，

令即，，

①当时，，，函数在上单调递增；

②当时，，

的两根为，，

（i）当即时，，

所以当时，；当时，；

所以在上单调递减，单调递增；

（ii）当即时，，

所以当时，；

当时，；

则在上单调递减，在，单调递增.

综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，单调递增；当时，在上单调递减，，单调递增；

（2）证明：由题意得，，，

令，

则

，

由（1）知，

则

又，可知对于均有，

所以，所以，

由可得，

结合函数在上单调递增，可得即，

令，

同理可得，

由可得当时，，

所以，所以，

由可得，

结合函数在上单调递增，可得即，

所以即，得证.