Question

【题目】已知函数．（是自然对数的底数）

（1）求的单调递减区间；

（2）记，若，试讨论在上的零点个数．（参考数据：）

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析

【解析】

（1）求出导函数，解不等式，结合三角函数的性质可得解；

（2）求出，令，由导数的知识求得的单调性，然后通过讨论的正负确定的单调性的极值，确定其零点个数．

解：（1），定义域为．

．

由解得，解得．

∴的单调递减区间为．

（2）由已知，∴．

令，则．

∵，∴当时，；

当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

即在上单调递增，在上单调递减．

∵，．

①当，即时，，∴．

∴，使得，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减．

∵，∴．

又∵，

∴由零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点．

②若时，，

又∵在上单调递增，在上单调递减，又，

∴，，使得，，

且当、时，；当时，．

∴在和上单调递减，在上单调递增．

∵，∴．

∵，∴．

又∵，由零点存在性定理可得，

在和内各有一个零点，

即此时在上有两个零点．

综上所述，当时，在上仅有一个零点；

当时，在上有两个零点．