【题目】已知函数.
(1)若,证明:当时,;
(2)若在只有一个零点,求.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】分析:(1)先构造函数,再求导函数,根据导函数不大于零得函数单调递减,最后根据单调性证得不等式,(2)研究零点,等价研究的零点,先求导数:,这里产生两个讨论点,一个是a与零,一个是x与2,当时,,没有零点;当时,先减后增,从而确定只有一个零点的必要条件,再利用零点存在定理确定条件的充分性,即得a的值.
详解:(1)当时,等价于.
设函数,则.
当时,,所以在单调递减.
而,故当时,,即.
(2)设函数.
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点.
(i)当时,,没有零点;
(ii)当时,.
当时,;当时,.
所以在单调递减,在单调递增.
故是在的最小值.
①若,即,在没有零点;
②若,即,在只有一个零点;
③若,即,由于,所以在有一个零点,
由(1)知,当时,,所以.
故在有一个零点,因此在有两个零点.
综上,在只有一个零点时,.
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【题目】定义在上的函数满足:对任意的,都有:
(1)求证:函数是奇函数;
(2)若当时,有,求证:在上是减函数;
(3)在(2)的条件下解不等式:;
(4)在(2)的条件下求证:.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),以该直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)设点,直线与曲线相交于两点,且,求实数的值.
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【题目】如图,在四棱锥A-EFCB中,为等边三角形,平面AEF平面EFCB,,
,,,O为EF的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角F-AE-B的余弦值;
(Ⅲ)若BE平面AOC,求a的值.
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【题目】在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.
(1)求EF的长
(2)证明:EF∥平面AA1D1D;
(3)证明:EF⊥平面A1CD.
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【题目】已知双曲线 =1(a>0,b>0),过其左焦点F作x轴的垂线,交双曲线于A,B两点,若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1, )
B.(1,2)
C.( ,+∞)
D.(2,+∞)
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