Question

【题目】定义在上的函数满足：对任意的，都有：

（1）求证：函数是奇函数；

（2）若当时，有，求证：在上是减函数；

（3）在（2）的条件下解不等式：;

（4）在（2）的条件下求证：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）（4）详见解析

【解析】

（1）令x＝y＝0 可求得f（0）＝0；令y＝﹣x代入可判断f（x）的奇偶；

（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，利用f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2），分析判断出﹣10，再结合条件即可证明结论；

（3）根据奇偶性与单调性可得不等式组，解之即可；

（4）可得，结合（2）可得结果.

解：（1）令得：

设，则，，即，

函数是奇函数；

（2）设，则，

由知：，且，所以，即，

，又

即，从而，故，即，

即，所以在上是减函数

（3），又由为奇函数，即，

由（2）知在上是减函数，

解得：，故不等式的解集为；

（4）

，

故

由，，

即