【题目】已知圆有以下性质:
①过圆上一点的圆的切线方程是.
②若不在坐标轴上的点为圆外一点,过作圆的两条切线,切点分别为,则垂直,即.
(1)类比上述有关结论,猜想过椭圆上一点的切线方程 (不要求证明);
(2)若过椭圆外一点(不在坐标轴上)作两直线,与椭圆相切于两点,求证:为定值.
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【题目】已知两条直线l1:y=m和l2:y= (m>0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时, 的最小值为( )
A.16
B.8
C.8
D.4
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【题目】已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an , B(n)=a2+a3+…+an+1 , C(n)=a3+a4+…+an+2 , n=1,2,….
(1)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N* , 三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式.
(2)证明:数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N* , 三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.
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【题目】定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= ;④f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
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【题目】如图1,∠ACB=45°,BC=3,过动点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图2所示),
(1)当BD的长为多少时,三棱锥A﹣BCD的体积最大;
(2)当三棱锥A﹣BCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求EN与平面BMN所成角的大小.
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【题目】北京某附属中学为了改善学生的住宿条件,决定在学校附近修建学生宿舍,学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元,已知建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为0.8万元.
(1)若学生宿舍建筑为层楼时,该楼房综合费用为万元,综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出的表达式;
(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,学校应把楼层建成几层?此时平均综合费用为每平方米多少万元?
【答案】(1);(2)学校应把楼层建成层,此时平均综合费用为每平方米万元
【解析】
由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元,得到第层楼房建筑费用,由楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高万元,然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用;
设楼房每平方米的平均综合费用为,则,然后利用基本不等式求最值.
解:由建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为万元,
且楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高万元,
可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为:万元.
建筑第1层楼房建筑费用为:万元.
楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高:万元.
建筑第x层楼时,该楼房综合费用为:.
;
设该楼房每平方米的平均综合费用为,
则:,
当且仅当,即时,上式等号成立.
学校应把楼层建成10层,此时平均综合费用为每平方米万元.
【点睛】
本题考查简单的数学建模思想方法,训练了等差数列前n项和的求法,训练了利用基本不等式求最值,是中档题.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】已知.
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程;
(2)若,求的值域.
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【题目】定义在上的函数满足:对任意的,都有:
(1)求证:函数是奇函数;
(2)若当时,有,求证:在上是减函数;
(3)在(2)的条件下解不等式:;
(4)在(2)的条件下求证:.
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