Question

【题目】如图，在四棱锥A-EFCB中，为等边三角形，平面AEF平面EFCB，，
，，，O为EF的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角F-AE-B的余弦值；
（Ⅲ）若BE平面AOC，求a的值．

Answer 1

【答案】(I)证明见解析；（II）；（III）．
【解析】
(I)由于平面AEF平面EFCB,为等边三角形，O为EF的中点，则,根据面面垂直性质定理，所以AO平面EFCB,又平面EFCB,则.
（II） 取CB的中点D，链接OD，以O为原点，分别以OE,OD,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系，A,E,B,,,由于平面AEF与Y轴垂直，则设平面AEF的法向量为,设平面AEB的法向量,,,,,y=-1,则,二面角F-AE-B的余弦值cos(,)==,由二面角F-AE-B为钝二面角，所以二面角F-AE-B的余弦值为.
（Ⅲ）由（I）知平面EFCB，则，若平面，只需，，又，，解得或，由于，则.
【考点精析】利用向量语言表述线线的垂直、平行关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即;则要证明，只需证明，即．