【题目】已知函数
，
是
的导函数.
（1）若
，当
时，函数在
内有唯一的极大值，求
的取值范围；
（2）若
，
，试研究
的零点个数.
【答案】（1）
；（2）
有
个零点
【解析】
（1）先求导得
，再分
和
两种情况讨论求得
的取值范围；（2）分析可知，只需研究
时零点的个数情况，再分
两种情形讨论即可.
（1）当
时，
，
，
在
是减函数，且
，
，
①，当
，时，
恒成立，
在是增函数，无极值；
②，当
，时，
，使得
，
，
，单调递增；
，
，单调递减，
为唯一的极大值点，所以
（2）
，
，
，
，可知，
（i）
时，
，无零点；所以只需研究，
，
（ii）
时，
，可知单调递减，
，
，
唯一的
，
；
（iii）当
，
是减函数，且
，
，
则
，
，
在
是增函数，
是减函数，并且
，
，
，
所以
，
；
，
，且知在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减.
又因为
，
，
，所以
，
，
，
，综上所述，由（i）（ii）（iii）可知，有个零点.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知
km,
,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm．
（I）按下列要求写出函数关系式：
①设
，将
表示成
的函数关系式；
②设
，将表示成
的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）已知曲线
的极坐标方程为
，点
是曲线与的交点，点
是曲线与的交点，、均异于原点，且
，求实数
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知双曲线
的左右焦点分别为
，
的周长为12．
（1）求点
的轨迹
的方程．
（2）已知点
，是否存在过点
的直线
与曲线交于不同的两点
，使得
，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
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