Question

【题目】已知函数，是的导函数.

（1）若，当时，函数在内有唯一的极大值，求的取值范围；

（2）若，，试研究的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）有个零点

【解析】

（1）先求导得，再分和两种情况讨论求得的取值范围；（2）分析可知，只需研究时零点的个数情况，再分两种情形讨论即可.

（1）当时，，，

在是减函数，且，，

①，当，时，恒成立，在是增函数，无极值；

②，当，时，，使得，，，单调递增；

，，单调递减，为唯一的极大值点，所以

（2），，，，可知，

（i）时，，无零点；所以只需研究，，

（ii）时，，可知单调递减，

，，唯一的，；

（iii）当，是减函数，且，，

则，，在是增函数，是减函数，并且，，，

所以，；，，且知在单调递减，在单调递增，在单调递减.

又因为，，，所以，，

，，综上所述，由（i）（ii）（iii）可知，有个零点.