【题目】如图，在多面体
中，
，四边形
和四边形
是两个全等的等腰梯形.
（1）求证：四边形
为矩形；
（2）若平面
平面，
，
，
，求多面体的体积.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
（1）根据全等的等腰梯形和已知条件得到
且
，由此证得四边形
为平行四边形. 分别取
，
的中点
，
，连接
，通过证明
四点共面，且
，且
相交，由此证得
平面
，从而证得
,由此证得四边形为矩形.（2）连结
，
，作
，垂足为
，则
.先证明
平面
，然后证明
平面，由此求得点
到平面的距离、点
到平面
的距离，分别求得
和
的体积，由此求得多面体
的体积.
（1）证明：∵四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，
∴且，∴四边形为平行四边形.
分别取，的中点，.
∵
，为的中点，∴
，同理
，∴
.
∵为的中点，为的中点，∵
，且
.
∴
，
，，四点共面，且四边形是以
，为底的梯形.
∵
，，且
，
是平面内的相交线，∴平面.
∵
平面，∴
，又
，∴
.
∴四边形为矩形.
（2）解：连结，，作，垂足为，则.
∵
，
，∴
.
在
中，
.
∵
，
平面，
平面，∴平面.
∵平面
平面，，平面
平面
，
平面，
∴平面，∴点到平面的距离为2，同理，点到平面的距离为2，
则
，
；
，
.
故多面体的体积为
.
考前必练系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，且椭圆上一点
的坐标为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
与椭圆交于
，
两点，且以线段
为直径的圆过椭圆的右顶点
，求
面积的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
，其中
为自然对数的底数，
。
（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求
的值；
（Ⅱ）若
，问函数
有无极值点？若有，请求出极值点的个数；若没有，请说明理由。
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【题目】已知四棱锥
的底面
为菱形，且
，
，
，
与
相交于点
.
（1）求证：
底面；
（2）求直线
与平面
所成的角
的值；
（3）求平面与平面
所成二面角
的值.（用反三角函数表示）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆C：
（
）的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为
.
（1）求C的方程；
（2）设C的右顶点为A，不过C左、右顶点的直线l：
与C相交于M，N两点，且
.请问：直线l是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示，正方体
的棱长为1，
为线段
，
上的动点，过点
的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的是______
①当
且
时，S为等腰梯形；
②当分别为，的中点时，几何体
的体积为
；
③当M为中点且
时，S与
的交点为R，满足
；
④当M为中点且
时，S为五边形；
⑤当
且
时，S的面积
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点．
(Ⅰ)求证：PC∥平面EBD；
(Ⅱ)求证：平面PBC⊥平面PCD.
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