Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数，。

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；

（Ⅱ）若，问函数有无极值点？若有，请求出极值点的个数；若没有，请说明理由。

Answer 1

【答案】(Ⅰ)a=1；(Ⅱ)答案见解析.

【解析】

(Ⅰ)由题意可得f′(x)=aex+(ax1)ex+a，利用导函数研究函数的切线方程确定实数a的值即可；

(Ⅱ)当时,，∴，

设g(x)=ex(x1)+1,则g′(x)=xex，据此可确定的符号，从而确定函数有无极值点.

(Ⅰ)由题意得f(x)=(ax1)ex+ax+1，

∴f′(x)=aex+(ax1)ex+a，

∵在点(0,f(0))处的切线与直线xy+1=0平行，

∴切线的斜率为f′(0)=a1+a=1，解得a=1.

(Ⅱ)当时,，

∴，

设g(x)=ex(x1)+1,则g′(x)=ex(x1)+ex=xex，

则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

函数，

据此可得恒成立，

函数在定义域内单调递增，函数不存在极值点.