Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对，，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）先求得函数的定义域，然后对函数求导，对分成四种情况，讨论函数的单调性.（2）根据（1）中所求函数的单调区间，对四种情况分别研究函数的函数值，结合来求得的取值范围.

解：（1）由题意知，的定义域为，

由，

得.

①当时，令，可得，，得，故函数的增区间为，减区间为；

②当时，，令，可得，，得或，故的增区间为，减区间为、；

③当时，，故函数的减区间为；

④当时，，令，可得，，得，或，故的增区间为，减区间为，.

综上所述：当时，在上为减函数，在上为增函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数；当时，在为减函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数.

（2）由（1）可知：

①当时，，此时；

②当时，，当时，有，，可得，不符合题意；

③当时，，由函数的单调性可知，当时，不符合题意；

④当时，，由函数的单调性可知，当时，不符合题意.

综上可知，所求实数的取值范围为.