【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，且椭圆上一点
的坐标为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
与椭圆交于
，
两点，且以线段
为直径的圆过椭圆的右顶点
，求
面积的最大值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）将
点坐标代入椭圆方程，结合椭圆的离心率列方程，解方程求得
的值，由此求得椭圆方程.（2）设直线
的方程为
，联立直线的方程和椭圆的方程，消去
，得到关于
的一元二次方程，写出韦达定理，根据
列方程，解方程求得
的值.由此判断出直线
过定点
，由
求得三角形面积的表达式，利用换元法，结合二次函数的单调性，求得三角形面积的最大值.
（1）由已知
，又
，则
.
椭圆方程为
，将
代入方程得
，
，
故椭圆的方程为；
（2）不妨设直线的方程，
联立
消去得
.
设
，
，则有
，
①
又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点
，∴，
由
，
得
，
将
，
代入上式得
，
将①代入上式求得
或
（舍），
则直线恒过点
.
∴
，
设
，则
在
上单调递增，
当
时，
取得最大值.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，数轴
，
的交点为
，夹角为
，与轴、轴正向同向的单位向量分别是
，
.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量
，存在唯一的有序实数对
，使得
，我们把叫做点
在斜坐标系
中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.
（1）若
，为单位向量，且与的夹角为
，求点的坐标；
（2）若
，点的坐标为
，求向量与的夹角；
（3）若
，求过点
的直线
的方程，使得原点到直线的距离最大.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，已知直线
的方程为
，曲线
是以坐标原点
为顶点，直线为准线的抛物线.以坐标原点为极点，
轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）分别求出直线与曲线的极坐标方程：
（2）点
是曲线上位于第一象限内的一个动点，点
是直线上位于第二象限内的一个动点，且
，请求出
的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到
位教师近
年每人手机月平均使用流量
(单位:
)的数据,其频率分布直方图如下：
若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率为概率,回答以下问题.
(Ⅰ) 从该校教师中随机抽取
人,求这人中至多有
人月使用流量不超过
的概率；
(Ⅱ) 现该通讯商推出三款流量套餐,详情如下:
套餐名称 | 月套餐费(单位:元) | 月套餐流量(单位: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值
流量,资费
元；如果又超出充值流量,系统就再次自动帮用户充值 流量,资费元/次,依次类推,如果当月流量有剩余,系统将自动清零,无法转入次月使用.
学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的
,其余部分由教师个人承担,问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为了解某中学学生对数学学习的情况，从该校抽了
名学生，分析了这名学生某次数学考试成绩（单位：分），得到了如下的频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中
的值；
（2）根据频率分布直方图估计该组数据的中位数（精确到
）；
（3）在这名学生的数学成绩中，从成绩在
的学生中任选
人，求次人的成绩都在
中的概率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
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