Question

【题目】如图所示，正方体的棱长为1，为线段，上的动点，过点的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的是______

①当且时，S为等腰梯形；

②当分别为，的中点时，几何体的体积为；

③当M为中点且时，S与的交点为R，满足；

④当M为中点且时，S为五边形；

⑤当且时，S的面积.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

对五个命题逐一画出图像，进行分析，判断出其中的真命题，由此得出正确命题的序号.

对于①，画出图像如下图所示，过作，交于，截面为，由于，所以，故，所以，即截面为等腰梯形.故①正确.

对于②，以为空间坐标原点，分别为轴，建立空间直线坐标系，则,则,.设平面的法向量为，则，令，则，故.则点到平面的距离为.而，故，故②命题正确.

对于③，延长交的延长线于，连接交于，由于，所以，故.由于，所以,故，故③判断错误.

对于④，当时，截面为三角形，故④判断错误.

对于⑤，延长,交的延长线于，连接,交于，则截面为四边形.由于,所以，面积比等于相似比的平方，即，故.在三角形中，,边上的高为,故,所以.

综上所述，本小题正确的命题有①②.