Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点A（a，4）到其准线的距离为

17

4

．
（Ⅰ）求p与a的值；
（Ⅱ）设抛物线C上动点P的横坐标为t（0＜t＜2），过点P的直线交C于另一点Q，交x轴于M点（直线PQ的斜率记作k）．过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN恰好是C的切线，问k²+tk-2t²是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用抛物线的定义和点在抛物线上满足的条件即可得出；
（II）由题意可知：过点P（t，t²）的直线PQ的斜率k不为0，则直线PQ：y-t²=k（x-t），即可求出点M的坐标，把直线PQ的方程与抛物线的方程联立即可得出点Q的坐标．由QN⊥QP，即可得出直线QN的方程，与抛物线方程联立即可得出点N的坐标，利用导数和斜率的计算公式即可得出直线MN两种形式的斜率，化简即可证明结论．

解答：解：（I）可得抛物线的准线方程为y=-

p

2

，由题意可得4+

p

2

=

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4

，解得p=

1

2

．
∴抛物线的方程为x²=y．把点A（a，4）代人此方程得a²=4，解得a=±2．
∴a=±2，p=

1

2

．
（II）由题意可知：过点P（t，t²）的直线PQ的斜率k不为0，则直线PQ：y-t²=k（x-t），
当y=0时，x=t-

t2

k

，∴M(t-

t2

k

，0)．
联立

y-t2=k(x-t) x2=y

消去y得（x-t）[x-（k-t）]=0，
解得x=t，或x=k-t．∴Q（k-t，（k-t）²），
∵QN⊥QP，∴kQN=-

1

k

，∴直线NQ：y-(k-t)2=-

1

k

[x-(k-t)]，
联立

y-(k-t)2=- 1 k [x-(k-t)] x2=y

，消去y化为[x-(k-t)][x+(k-t)+

1

k

]=0，解得x=k-t，或x=t-k-

1

k

．
∴N(t-k-

1

k

，(t-k-

1

k

)2)，∴抛物线在点N处的切线的斜率为y′=2x|x=t-k-

1

k

=2(t-k-

1

k

)，
另一方面k_MN=

(t-k- 1 k )2

t2 k -k- 1 k

，
∴2(t-k-

1

k

)=

(t-k- 1 k )2

t2 k -k- 1 k

，
∵t-k-

1

k

≠0，∴2(

t2

k

-k-

1

k

)=t-k-

1

k

，化为k²+tk-2t²=-1为定值．

点评：熟练掌握抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立即可得到交点的坐标、导数的几何意义与切线的斜率关系、斜率的计算公式设解题的关键．